関数データ解析(FDA, Functional Data Analysis)とは
関数データ解析とは
関数データ解析とは
各個体や対象に対して、複数の離散点で時間や空間の変化に伴い観測・測定されたデータを、関数の集合として捉え、解析する方法 Ramsay and Silverman, 2005
とされています。
一般的にデータ解析では、データそのものの統計量をとったり、クラスタリングしたり、回帰分析したりします。 関数データ解析では、データを関数で表現して、その関数を改めてデータとして扱う手法です。
とはいえ、「データを関数で表現してそこで何か（分類や予測など）をする」という手法は、従来の機械学習にも使われていますし（例えばガウス線形回帰）、関数データ解析固有のものではありません。
関数データ解析では、特定の手法ではなくデータの関数表現をデータそのものの分析と同じように扱う方法論、ということになろうかと思います。
例えば、テキスト*1 では次のように書かれています。
Ramsay & Silverman (2005)は、関数データにおける平均、分散、共分散を定義した後、 主成分分析、線形モデル、正準相関分析、判別分析の関数データ対応版を扱っている。 さらに、関数の定義域を調整するRegistration (見当合わせ)、通常のデータを 関数データにする各種平滑化などについても詳細に検討している。
近年では、これらに加えクラスタリング（Kmeans の関数データ適用がよく使われるようです）、スパース解析（https://sites.google.com/site/hidetoshimatsui/field/fda）なども検討が進んでいます。
関数データ解析のながれ
主に次の二段階法が使われるようです。
離散観測を連続の関数データで捉える（平滑化と呼ばれています）
捉えた関数集合を分析する
関数集合をデータ集合と同じように平均・分散・相関などを計算して分析する
所感
関数データ解析ではデータを関数で表現することで、データを集合で捉えより表現力のある構造（関数）で分析ができるようになります。 例えば従来のデータ解析でのデータの代表点（平均や中央値）や広がり（分散など）、関連（相関）などと同様の統計手法が関数データ解析においても使え、そこでは関数平均や関数分散、関数相関などの手法で分析ができます。
とは言え、私の中でもまだイメージの域を出ませんので、引き続き注目していきたいと思います。
